Luchtkussenbaan eenparige horizontale versnelling

Gegeven:

• m₁ = 600 gram (= 0,6 kg)
• m₂ = 100 gram (= 0,1 kg)
• g = 9,81 m/s²
• F_z = m₂ x g = 0,1 kg x 9,81 m/s² = 0,981 kgm/s² = 0,981 N
• Aanname: de opstelling beweegt geheel wrijvingsloos

Gevraagd: 

• bereken versnelling A
• verplaats 100 gram gewicht van M1 naar M2 en bereken dan nogmaals A. M1 wordt dan 500 gram, m2 wordt 200 gram.

Er leiden meer wegen naar Rome. Voor deze opgave reik ik daarom twee oplossingsmethoden aan.

Oplossingsmethode 1, beschouw M₁, M₂ en touw als een geheel dat versnelt.

• De totale massa die versnelt is M_tot = M₁ + M₂ = 0,6 kg + 0,1 kg = 0,7 kg.
• De versnellingskracht F_V is gelijk aan de zwaartekracht van M₂, F_V = F_Z2 = M₂ x g = 0,981 N
• Versnelling A = F_V / M_tot =  0,981 N  / 0,7 kg = 1,401 m/s²

Verplaats 100 gram gewicht van M1 naar M2 en bereken dan nogmaals A. M1 wordt dan 0,1 kg, M2 wordt 0,2 kg.

• De totale massa die versnelt is M_tot = M₁ + M₂ = 0,6 kg + 0,1 kg = 0,7 kg.
• De versnellingskracht F_V is gelijk aan de zwaartekracht van M₂, F_V = F_Z2 = M₂ x g = 0,2 kg x 9,81 kg m/ s2 = 1,962 N
• Versnelling A = F_V / M_tot =  1,962 N / 0,7 kg = 2,802 m/s²

Oplossingsmethode 2, beschouw M1 en M2 als twee aparte deelsystemen I en II

Het gewicht m₂ maakt dat m₁ in beweging komt en eenparig versneld. 

• Alleen kijkend naar deelsysteem I, kun je een formule opstellen voor de spankracht F_s in het koord: F_s = m₁ x A
• Alleen kijkend naar deelsysteem II, kun je een tweede formule opstellen voor de spankracht Fs in het koord: F_z - F_s = m₂ x A <=> F_s = F_z - m₂ x A^*

^*- m₂ x A: veel leerlingen zullen hier moeite mee hebben. Neem een veer met daaraan een gewicht en demonstreer wat er gebeurt als je de veer versneld naar beneden beweegt: de veer wordt korter. De veerkracht wordt dus minder. het versnellen van m2 in verticale richting naar beneden, zorgt voor een verlaging van de spankracht in het koord.

De massa's zijn d.m.v. een touw met elkaar verbonden... F_s is overal hetzelfde.

Er gelden dus twee formules voor de spankracht: F_s = m₁ x A en F_s = F_z - m₂ x A

• m₁ x A = F_z - m₂ x A <=>
• A = F_z / (m₁ + m₂) = 0,981 N / (0,6 kg + 0,1 kg) = 1,401 m/s²
• Je kunt ook schrijven A = m₂ x g / (m₁ + m₂), want F_z = m₂ x g

In theorie, wrijvingsloos dus, zal de versnelling A gelijk zijn aan 1,401 m/s². In de praktijk kun je wrijving nooit uitsluiten. Dus mag je verwachten dat de versnelling in de praktijk iets lager uit valt dan in de theorie.

Praktijkgegevens:

• Verplaatsing (afstand tussen de lichtpoortjes): S = 1,3 m
• Tijdmetingen: t1 = 1,38 s, t2 =  1,37 s, t3 = 1,39 s gemiddelde tijd: 1,38 s
• v_gem = S / t = 1,3 m / 1.38 s = 0.942 m/s
• v_eind = 2 x v_gem = 2 x 0,942 m/s = 1,884 m/s
• A = (v_eind - v_o) / t = (1,884 m/s - 0)/ 1,38 s = 1.365 m/s² (inderdaad: in de praktijk met wrijving is de versnelling iets lager dan in de theorie zonder wrijving)

Beschrijving van de opstelling

Zie afbeelding bovenaan deze pagina. Als je de foto goed bekijkt, zie je dat m₁ bestaat uit 2 ruiters (wagentjes). Mijn doel was om m₁ zo groot mogelijk te maken. D.w.z. zo groot dat hij nog net wrijvingsloos kan hooveren. Op die manier kon ik ook m₂ een significatie waarde geven van 100 gram zonder dat de ruiter als een raket over de baan gaat. 

Waarom wilde ik m₂ graag een significante waarde geven? Aanvankelijk experimenteerde ik met een gewicht m₂ van slechts 20 gram. Een klein gewicht veroorzaakt een lage versnelling wat visueel overzichtelijker werkt voor de student. Echter: later bleek dat ik het gewicht van het gekozen touw dan niet mocht verwaarlozen. Het touwtje bleek bij nader inzien 1,3 gram te wegen, en dat op een massa van 20 gram... dat is vrij veel, d.w.z. niet zomaar verwaarloosbaar!

In de voorbereiding mislukte het experiment. Wat bleek: de opstelling was niet (meer) wrijvingsloos. De aluminium pijp met gaatjes vertoonde gebruiksschade in de vorm van oneffenheden veroorzaakt door botsingen. Dus die moest ik eerst weg vijlen. Ook de ruiters bleken niet perfect te zijn. Één van de ruiters bevatte transparante tape op de onderkant. Die zag je bijna niet! Die heb ik dus met een scheermes verwijderd.

Om wrijvingsloosheid te garanderen, laat je de ruiter maximaal belast een keer met lage snelheid over het hele parcours gaan, waarbij je goed kijkt of er nergens remming optreedt.

Wrijvingsloos is een aanname die verwaarlozingen met zich mee brengt:

• verwaarlozing van de 'kopse' luchtwrijvingsweerstand op alle bewegende delen: m₁, touw, katrol en m₂
• verwaarlozing van de luchtwrijvingsweerstand onder de ruiters
• rolwrijvingsweerstand in de katrol
• gewicht van het touw
• hoek: hoe je ook je best doet, je krijgt de opstelling nooit perfect waterpas

Oplossingsmethode nr 2... met daar in het woord resulterende kracht F_res

Mijn collega's blijven hameren op het woord F_resulterend. Ik beschrijf daarom voor de liefhebbers een oplossingswijze met daarin het woord F_res.

• Voor deelsysteem I geldt: F_res = m₁ x A
• Voor deelsysteem 2 geldt: F_res = F_z - m₂ x A
• Deze resulterende krachten zijn gelijk aan elkaar, dus m₁ x A = F_z - m₂ x A oftewel: A = F_z / (m₁ + m₂).
• F_z = m₂ x g, dus je mag ook schrijven: A = m₂ x g / (m₁ + m₂)

Voor TOA's en docenten: 

Op de foto zie je twee blauwe statiefpoten die zijn vastgeklemd op de kar. Op die manier kan ik de luchtkussenbaan veel hoger plaatsen, waarmee de versnellingsweg en daarmee de lengte van de baan optimaal worden benut.